martes, 19 de enero de 2010

Instrucción Española de hormigón estructurado - CÁLCULOS RELATIVOS A LOS ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS



X-1
CAPÍTULO X
CÁLCULOS RELATIVOS A LOS ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS
Artículo 41º Estado Límite de Equilibrio
Habrá que comprobar que, bajo la hipótesis de carga más desfavorable, no se
sobrepasan los límites de equilibrio (vuelco, deslizamiento, etc.), aplicando los métodos de la
Mecánica Racional y teniendo en cuenta las condiciones reales de las sustentaciones.
Ed,estab Ed,desestab ?
donde:
Ed,estab Valor de cálculo de los efectos de las acciones estabilizadoras.
Ed,desestab Valor de cálculo de los efectos de las acciones desestabilizadoras.
Artículo 42º Estado Límite de Agotamiento frente a solicitaciones normales
42.1 Principios generales de cálculo
42.1.1 Definición de la sección
42.1.1.1 Dimensiones de la sección
Para la obtención de la capacidad resistente de una sección, ésta se considerará con
sus dimensiones reales en la fase de construcción -o de servicio- analizada, excepto en piezas
de sección en T, I o similares, para las que se tendrán en cuenta las anchuras eficaces
indicadas en 18.2.1.
42.1.1.2 Sección resistente
A efectos de cálculos correspondientes a los Estados Límite de Agotamiento frente a
solicitaciones normales, la sección resistente de hormigón se obtiene de las dimensiones de la
pieza y cumpliendo con los criterios de 40.3.5.
42.1.2 Hipótesis básicas
El cálculo de la capacidad resistente última de las secciones se efectuará a partir de las
hipótesis generales siguientes:
a) El agotamiento se caracteriza por el valor de la deformación en determinadas
fibras de la sección, definidas por los dominios de deformación de agotamiento
detallados en 42.1.3.
b) Las deformaciones del hormigón siguen una ley plana. Esta hipótesis es válida
para piezas en las que la relación entre la distancia entre puntos de momento
nulo y el canto total, es superior a 2.
c) Las deformaciones es de las armaduras pasivas se mantienen iguales a las del
hormigón que las envuelve.
X-2
Las deformaciones totales de las armaduras activas adherentes deben
considerar, además de la deformación que se produce en la fibra
correspondiente en el plano de deformación de agotamiento (e0), la
deformación producida por el pretensado y la deformación de descompresión
(figura 42.1.2) según se define a continuación:
? ? p = ? cp + ? p0
donde:
ecp Deformación de descompresión del hormigón al nivel de la fibra de
armadura considerada.
ep0 Predeformación de la armadura activa debida a la acción del pretensado
en la fase considerada, teniendo en cuenta las pérdidas que se hayan
producido.
d) El diagrama de cálculo tensión-deformación del hormigón es alguno de los que
se definen en 39.5. No se considerará la resistencia del hormigón a tracción.
El diagrama de cálculo tensión-deformación del acero de las armaduras
pasivas, es el que se define en 38.4.
El diagrama de cálculo tensión-deformación del acero de las armaduras activas,
es el que se define en 38.7.
e) Se aplicarán a las resultantes de tensiones en la sección las ecuaciones
generales de equilibrio de fuerzas y momentos. De esta forma podrá calcularse
la capacidad resistente última mediante la integración de las tensiones en el
hormigón y en las armaduras activas y pasivas.
Figura 42.1.2
42.1.3 Dominios de deformación
Las deformaciones límite de las secciones, según la naturaleza de la solicitación,
conducen a admitir los siguientes dominios (figura 42.1.3.):
Dominio 1: Tracción simple o compuesta en donde toda la sección está en tracción.
Las rectas de deformación giran alrededor del punto A correspondiente
a un alargamiento del acero más traccionado del 10 por 1000.
Dominio 2: Flexión simple o compuesta en donde el hormigón no alcanza la
deformación de rotura por flexión. Las rectas de deformación giran
alrededor del punto A.
Dominio 3: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran
alrededor del punto B correspondiente a la deformación de rotura por
X-3
flexión del hormigón ecu = 3,5 por 1.000. El alargamiento de la armadura
más traccionada está comprendido entre el 10 por 1.000 y ey, siendo ey
el alargamiento correspondiente al límite elástico del acero.
Dominio 4: Flexión simple o compuesta en donde las rectas de deformación giran
alrededor del punto B. El alargamiento de la armadura más traccionada
está comprendido entre ey y 0.
Dominio 4a: Flexión compuesta en donde todas las armaduras están comprimidas y
existe una pequeña zona de hormigón en tracción. Las rectas de
deformación giran alrededor del punto B.
Dominio 5: Compresión simple o compuesta en donde ambos materiales trabajan a
compresión. Las rectas de deformación giran alrededor del punto C
definido por la recta correspondiente a la deformación de rotura del
hormigón por compresión, ecu = 2 por 1.000.
Figura 42.1.3
42.1.4 Dimensionamiento o comprobación de secciones
A partir de las hipótesis básicas definidas en 42.1.2 es posible plantear las ecuaciones
de equilibrio de la sección, que constituyen un sistema de ecuaciones no lineales.
En el caso de dimensionamiento, se conocen la forma y dimensiones de la sección de
hormigón, la posición de la armadura, las características de los materiales y los esfuerzos de
cálculo y son incógnitas el plano de deformación de agotamiento y la cuantía de armadura.
En el caso de comprobación, se conocen la forma y dimensiones de la sección de
hormigón, la posición y cuantía de la armadura y las características de los materiales y son
incógnitas el plano de deformación de agotamiento y los esfuerzos resistentes de la sección.
X-4
42.2 Casos particulares
42.2.1 Excentricidad mínima
En soportes y elementos de función análoga toda sección sometida a una solicitación
normal exterior de compresión Nd debe ser capaz de resistir dicha compresión con una
excentricidad mínima, debida a la incertidumbre en la posición del punto de aplicación del
esfuerzo normal, igual al mayor de los valores:
h/20 y 2 cm
Dicha excentricidad debe ser contada a partir del centro de gravedad de la sección
bruta y en la dirección más desfavorable de las direcciones principales y sólo en una de ellas.
42.2.2 Efecto de confinamiento del hormigón
El hormigón confinado en compresión mejora sus condiciones de resistencia y
ductilidad, aspecto este último muy importante para garantizar un comportamiento estructural
que permita aprovechar, de forma óptima, toda la capacidad resistente adicional de un
elemento hiperestático.
El confinamiento de la zona comprimida de hormigón puede conseguirse con una
adecuada cuantía de armadura transversal, convenientemente dispuesta y anclada.
42.2.3 Armaduras activas no adherentes
El incremento de tensión en las armaduras activas no adherentes depende del
incremento de longitud del tendón entre los anclajes que, a su vez, depende de la deformación
global de la estructura en Estado Límite Último.
42.3 Disposiciones relativas a las armaduras
42.3.1 Generalidades
Si existen armaduras pasivas en compresión, para poder tenerlas en cuenta en el
cálculo será preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separación st sea igual o
inferior a quince veces el diámetro ? mín de la barra comprimida más delgada y cuyo diámetro ? t
sea igual o superior a la cuarta parte de ? máx, siendo ? máx el diámetro de la armadura
comprimida más gruesa. Si la separación st entre cercos es inferior a 15 ? mín, su diámetro ? t
podrá disminuirse de tal forma que la relación entre la sección del cerco y la separación st siga
siendo la misma que cuando se adopta:
? t = 1/4 ? máx ; y st = 15 ? mín
Para piezas comprimidas, en cualquier caso, st debe ser inferior que la dimensión
X-5
menor del elemento y no mayor que 30 cm.
La armadura pasiva longitudinal resistente, o la de piel, habrá de quedar distribuida
convenientemente para evitar que queden zonas de hormigón sin armaduras, de forma que la
distancia entre dos barras longitudinales consecutivas (s) cumpla las siguientes limitaciones:
s ? 30 cm.
s ? tres veces el espesor bruto de la parte de la sección del elemento, alma o alas,
en las que vayan situadas.
En zonas de solapo o de doblado de las barras puede ser necesario aumentar la
armadura transversal.
42.3.2 Flexión simple o compuesta
En todos aquellos casos en los que el agotamiento de una sección se produzca por
flexión simple o compuesta, la armadura resistente longitudinal traccionada deberá cumplir la
siguiente limitación:
f
h
A f + A f 0,25W cd
1
p pd s yd ?
donde:
Ap Área de la armadura activa adherente.
As Área de la armadura pasiva.
fpd Resistencia de cálculo del acero de la armadura activa adherente en tracción.
fyd Resistencia de cálculo del acero de la armadura pasiva en tracción.
fcd Resistencia de cálculo del hormigón en compresión.
W1 Módulo resistente de la sección bruta relativo a la fibra más traccionada.
h Canto total de la sección.
42.3.3 Compresión simple o compuesta
En las secciones sometidas a compresión simple o compuesta, las armaduras,
principales en compresión A's1 y A's2 (ver figura 42.3.3) deberán cumplir las limitaciones
siguientes:
A's1 fyc,d ? 0,05 Nd A's1 fyc,d ? 0,5 fcd Ac
A's2 fyc,d ? 0,05 Nd A's2 fyc,d ? 0,5 fcd Ac
donde:
fyc,d Resistencia de cálculo del acero a compresión fyc,d = fyd ? 400 N/mm2.
Nd Esfuerzo actuante normal mayorado de compresión.
fcd Resistencia de cálculo del hormigón en compresión.
Ac Área de la sección total de hormigón.
X-6
Figura 42.3.3
42.3.4 Tracción simple o compuesta
En el caso de secciones de hormigón sometidas a tracción simple o compuesta,
provistas de dos armaduras principales, deberán cumplirse las siguientes limitaciones:
Ap fpd + As fyd ? 0,20 Ac fcd
42.3.5 Cuantías geométricas mínimas
En la tabla 42.3.5 se indican los valores de las cuantías geométricas mínimas que, en
cualquier caso, deben disponerse en los diferentes tipos de elementos estructurales, en función
del acero utilizado, siempre que dichos valores resulten más exigentes que los señalados en
42.3.2, 42.3.3 y 42.3.4.
Tabla 42.3.5: Cuantías geométricas mínimas, en tanto por 1000,
referidas a la sección total de hormigón
Tipo de elemento estructural Tipo de acero
B 400 S B 500 S
Pilares 4,0 4,0
Losas (*) 2,0 1,8
Vigas (**) 3,3 2,8
Muros (***) Armadura horizontal 4,0 3,2
Armadura vertical 1,2 0,9
(*) Cuantía mínima de cada una de las armaduras, longitudinal y transversal repartida en las dos caras.
Las losas apoyadas sobre el terreno requieren un estudio especial.
(**) Cuantía mínima correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la cara opuesta
una armadura mínima igual al 30% de la consignada.
(***) La cuantía mínima vertical es la correspondiente a la cara de tracción. Se recomienda disponer en la
cara opuesta una armadura mínima igual al 30% de la consignada.
La armadura mínima horizontal deberá repartirse en ambas caras. Para muros vistos por ambas
caras debe disponerse el 50% en cada cara. Para muros vistos por una sola cara podrán disponerse
hasta 2/3 de la armadura total en la cara vista. En el caso en que se dispongan juntas verticales de
X-7
contracción a distancias no superiores a 7,5 m, con la armadura horizontal interrumpida, las cuantías
geométricas horizontales mínimas pueden reducirse a la mitad.
Artículo 43º Estado Límite de Inestabilidad
43.1 Generalidades
43.1.1 Campo de aplicación
Este artículo concierne a la comprobación de soportes aislados, estructuras aporticadas
y estructuras reticulares en general, en los que los efectos de segundo orden no pueden ser
despreciados.
La aplicación de este artículo está limitada a los casos en que pueden despreciarse los
efectos de torsión.
Esta Instrucción no cubre los casos en que la esbeltez mecánica ? de los soportes (ver
definición en 43.1.2.) es superior a 200.
43.1.2 Definiciones
A los efectos de aplicación de este Artículo 43º se denominan:
- Estructuras intraslacionales aquellas cuyos nudos, bajo solicitaciones de
cálculo, presentan desplazamientos transversales cuyos efectos pueden ser
despreciados desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto.
- Estructuras traslacionales aquellas cuyos nudos, bajo solicitaciones de cálculo,
presentan desplazamientos transversales cuyos efectos no pueden ser
despreciados desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto.
- Soportes aislados, los soportes isostáticos, o los de pórticos en los que puede
suponerse que la posición de los puntos donde se anula el momento de
segundo orden no varía con el valor de la carga.
- Esbeltez mecánica de un soporte de sección constante, el cociente entre la
longitud de pandeo lo del soporte (distancia entre puntos de inflexión de la
deformada) y el radio de giro i de la sección bruta de hormigón en la dirección
considerada.
- Esbeltez geométrica de un soporte de sección constante, el cociente entre la
longitud de pandeo lo del soporte y la dimensión (b ó h) de la sección que es
paralela al plano de pandeo.
43.2 Método general
La comprobación general de una estructura, teniendo en cuenta las no linealidades
geométrica y mecánica, puede realizarse de acuerdo con los principios generales indicados en
21.3.4 y 21.3.5. Con esta comprobación se justifica que la estructura, para las distintas
combinaciones de acciones posibles, no presenta condiciones de inestabilidad global ni local, a
nivel de sus elementos constitutivos, ni resulta sobrepasada la capacidad resistente de las
distintas secciones de dichos elementos.
Deben considerarse en el cálculo las incertidumbres asociadas a la predicción de los
efectos de segundo orden y, en particular, los errores de dimensión e incertidumbres en la
posición y línea de acción de las cargas axiles.
X-8
43.3 Comprobación de estructuras intraslacionales
En las estructuras intraslacionales, el cálculo global de esfuerzos podrá hacerse según
la teoría de primer orden. A partir de los esfuerzos así obtenidos, se efectuará una
comprobación de los efectos de segundo orden de cada soporte considerado aisladamente, de
acuerdo con 43.5.
43.4 Comprobación de estructuras traslacionales
Las estructuras traslacionales serán objeto de una comprobación de estabilidad de
acuerdo con las bases generales de 43.2.
43.5 Comprobación de soportes aislados
Para soportes con esbeltez mecánica comprendida entre 100 y 200 se aplicará el
método general establecido en 43.5.1.
Para soportes con esbeltez mecánica comprendida entre 35 y 100 puede aplicarse el
método aproximado de 43.5.2 ó 43.5.3.
Para soportes con esbeltez mecánica inferior a 35 pueden despreciarse los efectos de
segundo orden y, en consecuencia, no efectuar comprobación alguna en relación con el
Estado Límite de Inestabilidad.
43.5.1 Método general
En general la comprobación de soportes aislados se llevará a cabo de acuerdo con las
bases de 43.2.
43.5.2 Método aproximado. Flexión compuesta recta
Para soportes de sección y armadura constante deberá dimensionarse la sección para
una excentricidad total igual a la que se indica:
etot = ee + ea ? e2
50 i
l
h+10 e
e =(1+0,12 )( + ) h+20 e
c
2
0
e
e
a y ? ? ?
donde:
ea Excentricidad ficticia utilizada para representar los efectos de segundo orden.
ee Excentricidad de cálculo de primer orden equivalente.
ee = 0,6 e2 + 0,4 e1 ? 0,4 e2 para soportes intraslacionales;
ee = e2 para soportes traslacionales.
e2 Excentricidad de cálculo máxima de primer orden, tomada con signo positivo.
e1 Excentricidad de cálculo mínima de primer orden, tomada con el signo que le
corresponda.
l0 Longitud de pandeo.
ic Radio de giro de la sección de hormigón en la dirección considerada.
h Canto total de la sección de hormigón.
ey Deformación del acero para la tensión de cálculo fyd, es decir,
X-9
e Parámetro auxiliar para tener en cuenta los efectos de la fluencia:
e = 0,003 cuando el axil cuasipermanente no supera el 70% del axil total.
e = 0,004 cuando el axil cuasipermanente es mayor que el 70% del axil total.
ß Factor de armado, dado por
4 i
= (d - d ) 2s
? ? 2
siendo is el radio de giro de las armaduras. Los valores de ß y de is se recogen en la
tabla 43,5.2 para las disposiciones de armaduras más frecuentes.
Tabla 43.5.2
Disposición de armadura is
2 ß
(d - d )
4
1 ? 2 1,0
(d - d )
12
1 ? 2 3,0
(d - d )
6
1 ? 2 1,5
43.5.3 Método aproximado. Flexión compuesta esviada
Para elementos de sección rectangular y armadura constante se podrá realizar una
comprobación separada, según los dos planos principales de simetría, si la excentricidad del
axil se sitúa en la zona rayada de la figura 43.5.3.a. Esta situación se produce si se cumple
alguna de las dos condiciones indicadas en la figura 43.5.3.a, donde ex y ey son las
excentricidades de cálculo en la dirección de los ejes x e y, respectivamente.
Cuando no se cumplen las condiciones anteriores, podrá comprobarse el soporte
esbelto si se cumple la siguiente condición:
1
M
+ M
M
M
yu
yd
xu
xd ?
donde:
Mxd Momento de cálculo, en la dirección x, en la sección crítica de comprobación,
considerando los efectos de segundo orden.
Myd Momento de cálculo, en la dirección y, en la sección crítica de comprobación,
considerando los efectos de segundo orden.
Mxu Momento máximo, en la dirección x, resistido por la sección crítica.
Myu Momento máximo, en la dirección y, resistido por la sección crítica.
E
f
=
s
yd
? y
X-10
Figura 43.5.3.a
Artículo 44º Estado Límite de Agotamiento frente a cortante
44.1 Consideraciones generales
Para el análisis de la capacidad resistente de las estructuras de hormigón frente a
esfuerzos cortantes, se establece como método general de cálculo el de Bielas y Tirantes
(Artículos 24º y 40º), que deberá utilizarse en todos aquellos elementos estructurales o partes
de los mismos que, presentando estados planos de tensión o asimilables a tales, estén
sometidos a solicitaciones tangentes según un plano conocido y no correspondan a los casos
particulares tratados de forma explícita en esta Instrucción, tales como elementos lineales,
placas y losas (44.2).
44.2 Resistencia a esfuerzo cortante de elementos lineales, placas y losas
Las prescripciones incluidas en los diferentes subapartados son de aplicación
exclusivamente a elementos lineales sometidos a esfuerzos combinados de flexión, cortante y
axil (compresión o tracción) y a placas o losas trabajando fundamentalmente en una dirección.
A los efectos de este artículo se consideran elementos lineales aquellos cuya distancia
entre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces su canto total y cuya anchura es
igual o inferior a cinco veces dicho canto, pudiendo ser su directriz recta o curva. Se denominan
placas o losas a los elementos superficiales planos, de sección llena o aligerada, cargados
normalmente a su plano medio.
44.2.1 Definición de la sección de cálculo
Para los cálculos correspondientes al Estado Límite de Agotamiento por esfuerzo
cortante, las secciones se considerarán con sus dimensiones reales en la fase analizada.
Excepto en los casos en que se indique lo contrario, la sección resistente del hormigón se
obtiene a partir de las dimensiones reales de la pieza, cumpliendo los criterios indicados en
40.3.5.
X-11
44.2.2 Esfuerzo cortante efectivo
Las comprobaciones relativas al Estado Límite de Agotamiento por esfuerzo cortante
pueden llevarse a cabo a partir del esfuerzo cortante efectivo Vrd dado por la siguiente
expresión:
V rd = V d + V pd + V cd
donde:
Vd Valor de cálculo del esfuerzo cortante producido por las acciones exteriores.
Vpd Valor de cálculo de la componente de la fuerza de pretensado paralela a la sección en
estudio.
Vcd Valor de cálculo de la componente paralela a la sección de la resultante de tensiones
normales, tanto de compresión como de tracción, sobre las fibras longitudinales de
hormigón, en piezas de sección variable.
44.2.3 Comprobaciones que hay que realizar
El Estado Límite de Agotamiento por esfuerzo cortante se puede alcanzar, ya sea por
agotarse la resistencia a compresión del alma, o por agotarse su resistencia a tracción. En
consecuencia, es necesario comprobar que se cumple simultáneamente:
V rd V u1 ?
V rd V u2 ?
donde:
Vrd Esfuerzo cortante efectivo de cálculo definido en 44.2.2.
Vu1 Esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua en el alma.
Vu2 Esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.
La comprobación del agotamiento por compresión oblicua en el alma Vrd? Vu1 se
realizará en el borde del apoyo y no en su eje.
En piezas sin armadura de cortante no resulta necesaria la comprobación de
agotamiento por compresión oblicua en el alma.
La comprobación correspondiente al agotamiento por tracción en el alma Vrd? Vu2 se
efectúa para una sección situada a una distancia de un canto útil del borde del apoyo directo.
44.2.3.1 Obtención de Vu1
El esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua del alma se deduce de la
siguiente expresión:
?
? ?
1 + cotg
V u1 = K f 1cd b0 d cotg + co2 tg
donde:
f1cd Resistencia a compresión del hormigón
f = 0,60 f 1cd cd
b0 Anchura neta mínima del elemento, definida de acuerdo con 40.3.5.
K Coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil
1,00
f
1 +
3
K = 5
cd
cd ? ?
?
? ?
?
? ? ?
X-12
donde:
s'cd tensión axil efectiva en la sección (tracción positiva)
A
= N
c
d
? ?cd
Nd Esfuerzo axil de cálculo (tracción positiva) incluyendo el pretensado con su valor
de cálculo
Ac Área total de la sección de hormigón
a Ángulo de las armaduras con el eje de la pieza (figura 44.2.3.1.a).
? Ángulo entre las bielas de compresión de hormigón y el eje de la pieza (figura
44.2.3.1.a). Se adoptará un valor que cumpla:
0,5 ? cotg ? ? 2,0
Figura 44.2.3.1.a
44.2.3.2 Obtención de Vu2
44.2.3.2.1 Piezas sin armadura de cortante
El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale
V 2 = ? 0,12 ( 100 f ) - 0,15 cd ? b0 d
1/ 3
u ? ? l ck ? ?
con fck expresado en N/mm2, donde:
d
? = 1 + 200 con d en mm
?l Cuantía geométrica de la armadura longitudinal traccionada, pasiva y activa adherente,
anclada a una distancia igual o mayor que d a partir de la sección de estudio
0,02
b d
f
f
A + A
=
0
yd
yp
s p
l ? ?
44.2.3.2.2 Piezas con armadura de cortante
X-13
El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale:
V u2 = V cu + V su
donde:
Vsu Contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante.
V su = z sen ? ( cotg ? + cotg ? ) ? A? f y? ,d
donde:
Aa Área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ángulo a con
la directriz de la pieza (figura 44.2.3.1)
fya,d Resistencia de cálculo de la armadura Aa (40.2)
- Para armaduras pasivas
y? ,d ? sd f =
- Para armaduras activas
y? ,d ? pd f =
z Brazo mecánico. A falta de cálculos más precisos puede adoptarse el valor aproximado
z=0,9d.
Vcu contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante
V = ? 0,10 ? ( 100 ? f ) - 0,15 ? cd ? b0 d ?
1/ 3
cu l ck ?
con fck expresado en N/mm2, donde:
2 ctg - 1
= 2 ctg - 1
? e
? ? si 0,5? ctg?<> 2 u1
Si existe armadura de compresión y se tiene en cuenta en el cálculo, los cercos o
estribos cumplirán, además, las prescripciones del Artículo 42º.
Para un control eficaz, en piezas lineales, de la fisuración inclinada de alma debida a
solicitaciones tangenciales, deberán respetarse las separaciones entre armaduras
transversales indicadas en 49.3.
En general, los elementos lineales dispondrán de armadura transversal de forma
efectiva.
En todos los casos, se prolongará la colocación de cercos o estribos en una longitud
igual a medio canto de la pieza, más allá de la sección en la que teóricamente dejen de ser
necesarios. En el caso de apoyos, los cercos o estribos se dispondrán hasta el borde de los
mismos.
Las armaduras de cortante deben formar con el eje de la viga un ángulo comprendido
entre 45o y 90o, inclinadas en el mismo sentido que la tensión principal de tracción producida
por las cargas exteriores, al nivel del centro de gravedad de la sección de la viga supuesta no
fisurada.
Las barras que constituyen la armadura transversal pueden ser activas o pasivas,
pudiendo disponerse ambos tipos de forma aislada o en combinación.
La cuantía mínima de tales armaduras debe ser tal que se cumpla la relación:
0,02 f b
sen
A f
cd 0
? y ,d ?
?
? ?
Al menos un tercio de la armadura necesaria por cortante, y en todo caso la cuantía
mínima indicada, se dispondrá en forma de estribos que formen un ángulo de 90º con el eje de
la viga.
44.2.3.4.2 Armaduras longitudinales
Las armaduras longitudinales de flexión deberán ser capaces de soportar un
incremento de tracción respecto a la producida por Md, igual a:
( cotg + cotg )
2
T = V cotg - V su
rd ? ? ? ?
Esta prescripción se cumple de forma automática decalando la ley de momentos de
cálculo Md una magnitud igual a:
X-15
??
? ?
?
?
( cotg + cotg )
V
V
2
s = z cotg - 1
rd
su
d ? ? ?
en el sentido más desfavorable (figura 44.2.3.4.2).
En el caso de no existir armadura de cortante, se tomará Vsu=0 en las expresiones
anteriores.
Figura 44.2.3.4.2
44.2.3.5 Rasante entre alas y alma de una viga
Para el cálculo de la armadura de unión entre alas y alma de las cabezas de vigas en T,
en I, en cajón o similares, se empleará en general el método de Bielas y Tirantes (Artículo 40º).
Para la determinación del esfuerzo rasante puede suponerse una redistribución plástica
en una zona de la viga de longitud ar (figura 44.2.3.5.a).
Figura 44.2.3.5.a
El esfuerzo rasante medio por unidad de longitud que debe ser resistido será:
a
S = F
r
d
d
?
donde:
ar Longitud de redistribución plástica considerada. La ley de momentos en la longitud ar
X-16
debe presentar variación monótona creciente o decreciente. Al menos los puntos de
cambio de signo de momento deben adoptarse siempre como límites de zona ar.
?Fd Es la variación en la distancia ar de la fuerza longitudinal actuante en la sección del ala
exterior al plano P.
En ausencia de cálculos más rigurosos deberá cumplirse:
Sd Su1 ?
Sd Su2 ?
donde:
Su1 Esfuerzo rasante de agotamiento por compresión oblicua en el plano P
Su1 = 0,5 f 1cd h0
donde:
f1cd Resistencia a compresión del hormigón (40.3.2), de valor:
f1cd=0,60fcd para alas comprimidas;
f1cd=0,40fcd para alas traccionadas.
h0 Espesor del ala de acuerdo con 40.3.5.
Su2 Esfuerzo rasante de agotamiento por tracción en el plano P.
Su2 = Ssu
donde:
Ssu Contribución de la armadura perpendicular al plano P a la resistencia a esfuerzo
rasante.
Ssu = AP f yP,d
AP Armadura por unidad de longitud perpendicular al plano P (figuras
44.2.3.5.b y c).
fyP,d Resistencia de cálculo de la armadura AP:
fyP,d = ssd para armaduras pasivas;
fyP,d = spd para armaduras activas.
En el caso de rasante entre alas y alma combinado con flexión transversal, se
calcularán las armaduras necesarias por ambos conceptos y se dispondrá la mayor de las dos.
X-17
Figura 44.2.3.5.b
Figura 44.2.3.5.c
Artículo 45º Estado Límite de Agotamiento por torsión en elementos lineales
X-18
45.1 Consideraciones generales
Las prescripciones incluidas en este artículo son de aplicación exclusivamente a elementos
lineales sometidos a torsión pura o a esfuerzos combinados de torsión y flexión,
cortante y axil.
A los efectos de este artículo se consideran elementos lineales aquellos cuya distancia
entre puntos de momento nulo es igual o superior a dos veces y media su canto total y cuya
anchura es igual o inferior a cuatro veces dicho canto, pudiendo ser su directriz recta o curva.
Los estados de flexión bidimensional (mx, my y mxy) en losas o placas se dimensionarán
de acuerdo con el Artículo 42º, teniendo en cuenta las direcciones principales de los esfuerzos
y las direcciones en que se disponga la armadura.
Cuando el equilibrio estático de una estructura dependa de la resistencia a torsión de
uno o varios de los elementos de la misma, éstos deberán ser dimensionados y comprobados
de acuerdo con el presente artículo. Cuando el equilibrio estático de la estructura no depende
de la resistencia a torsión de uno o varios de los elementos de la misma sólo será necesario
comprobar este Estado Límite en aquellos elementos cuya rigidez a torsión haya sido
considerada en el cálculo de esfuerzos.
Para evitar una excesiva fisuración en piezas lineales, deberán disponerse las armaduras
mínimas indicadas en el Artículo 49º.
45.2 Torsión pura
45.2.1 Definición de la sección de cálculo
La resistencia a torsión de las secciones se calcula utilizando una sección cerrada de
pared delgada. Así, las secciones macizas se sustituyen por secciones equivalentes de pared
delgada. Las secciones de forma compleja, como secciones en T, se dividen en varias
subsecciones, cada una de las cuales se modeliza como una sección equivalente de pared
delgada y la resistencia total a torsión se calcula como la suma de las capacidades de las
diferentes piezas. La división de la sección debe ser tal que maximice la rigidez calculada. En
zonas cercanas a los apoyos no podrán considerarse como colaborantes a la rigidez a torsión
de la sección aquellos elementos de la misma cuya trasmisión de esfuerzos a los elementos de
apoyo no pueda realizarse de forma directa.
El espesor eficaz he de la pared de la sección de cálculo (figura 45.2.1) será:
? ? ?
?
? ?
2c
h
u
h A 0
e
donde:
A Área de la sección transversal inscrita en el perímetro exterior incluyendo las áreas
huecas interiores.
u Perímetro exterior de la sección transversal.
ho Espesor real de la pared en caso de secciones huecas.
c Recubrimiento de las armaduras longitudinales.
Puede utilizarse un valor de he inferior a A/u, siempre que cumpla con las condiciones
mínimas expresadas y que permita satisfacer las exigencias de compresión del hormigón
establecidas en 45.2.2.1.
X-19
Figura 45.2.1
45.2.2 Comprobaciones que hay que realizar
El Estado Límite de Agotamiento por torsión puede alcanzarse, ya sea por agotarse la
resistencia a compresión del hormigón o por agotarse la resistencia a tracción de las armaduras
dispuestas. En consecuencia, es necesario comprobar que se cumple simultáneamente:
Td Tu1 ?
Td Tu2 ?
Td Tu3 ?
donde:
Td Momento torsor de cálculo en la sección.
Tu1 Máximo momento torsor que pueden resistir las bielas comprimidas de hormigón.
Tu2 Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras transversales.
Tu3 Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales.
Las armaduras de torsión se suponen constituidas por una armadura transversal
formada por cercos cerrados situados en planos normales a la directriz de la pieza. La
armadura longitudinal estará constituida por armadura pasiva o activa paralela a la directriz de
la pieza, distribuida uniformemente con separaciones no superiores a 30 cm en el contorno
exterior de la sección hueca eficaz o en una doble capa en el contorno exterior y en el interior
de la sección hueca eficaz o real. Al menos se situará una barra longitudinal en cada esquina
de la sección real para asegurar la transmisión a la armadura transversal de las fuerzas
longitudinales ejercidas por las bielas de compresión.
45.2.2.1 Obtención de Tu1
El esfuerzo torsor de agotamiento que pueden resistir las bielas comprimidas se deduce
de la siguiente expresión:
?
? ?
1 + cotg
Tu1 = f 1cd Ae he cotg 2
donde:
f1cd Resistencia a compresión del hormigón.
f = 0,60 f 1cd cd
a 1,20 si hay estribos únicamente a lo largo del perímetro exterior de la pieza;
1,50 si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la sección hueca
equivalente o de la sección hueca real.
? Ángulo entre las bielas de compresión de hormigón y el eje de la pieza. Se adoptará un
valor que cumpla:
0,4 ? cotg ? ? 2,5
Ae Área encerrada por la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo (figura 45.2.1).
45.2.2.2 Obtención de Tu2
X-20
El esfuerzo torsor que pueden resistir las armaduras transversales viene dado por:
f cotg ?
s
T = 2 A A y t,d
t
e t
u2
donde:
At Área de las armaduras utilizadas como cercos o armadura transversal.
st Separación longitudinal entre cercos o barras de la armadura transversal.
fyt,d Resistencia de cálculo del acero de la armadura At (40.2).
- Para armaduras pasivas
y t,d ? sd f =
- Para armaduras activas
y t,d ? pd f =
45.2.2.3 Obtención de Tu3
El esfuerzo torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales se puede calcular
mediante:
A f tg ?
u
T = 2 A l yl,d
e
e
u3
donde:
Al Área de las armaduras longitudinales.
fyl,d Resistencia de cálculo del acero de la armadura longitudinal Al (40.2).
- Para armaduras pasivas
y l,d ? sd f =
- Para armaduras activas
y l,d ? pd f =
ue Perímetro de la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo Ae (figura 45.2.1).
45.2.2.4 Alabeo producido por la torsión
En general pueden ignorarse en el cálculo de las piezas lineales de hormigón las
tensiones producidas por la coacción del alabeo torsional.
45.2.3 Disposiciones relativas a las armaduras
La separación longitudinal entre cercos de torsión st no excederá de
8
s ue
t ?
y deberá cumplir las condiciones siguientes para asegurar un adecuado confinamiento del
hormigón sometido a compresión oblicua:
st ? 0,80 a ? 300 mm T
5
si T d 1 u1 ?
X-21
st ? 0,60 a ? 300 mm T
3
T <> 2 u1
siendo a la menor dimensión de los lados que conforman el perímetro ue.
45.3 Interacción entre torsión y otros esfuerzos
45.3.1 Método general
Se utilizará el mismo procedimiento que en torsión pura (45.2.1) para definir una
sección hueca eficaz de cálculo. Las tensiones normales y tangenciales producidas por los
esfuerzos actuantes sobre esta sección se calculan a través de los métodos elásticos o
plásticos convencionales.
Una vez halladas las tensiones, las armaduras necesarias en cualquier pared de la
sección hueca eficaz de cálculo pueden determinarse mediante las fórmulas de distribución de
tensión plana. También puede determinarse la tensión principal de compresión en el hormigón.
Si las armaduras deducidas de este modo no fueran factibles o convenientes, pueden
cambiarse en alguna zona las tensiones deducidas por un sistema de fuerzas estáticamente
equivalentes y emplear éstas en el armado. Deberán, en este caso, comprobarse las
consecuencias que dicho cambio provoca en las zonas singulares como huecos o extremos de
las vigas.
Las tensiones principales de compresión scd deducidas en el hormigón, en las distintas
paredes de la sección hueca eficaz de cálculo, deben cumplir:
f cd 1cd ? ? ?
donde a y f1cd son los definidos en 45.2.2.1. y 40.3, respectivamente.
45.3.2 Métodos simplificados
45.3.2.1 Torsión combinada con flexión y axil
Las armaduras longitudinales necesarias para torsión y flexocompresión o flexotracción
se calcularán por separado suponiendo la actuación de ambos tipos de esfuerzo de forma
independiente. Las armaduras así calculadas se combinarán de acuerdo con las siguientes
reglas:
a) En la zona traccionada debida a la flexión compuesta, las armaduras
longitudinales por torsión se sumarán a las necesarias por flexión y esfuerzo
axil.
b) En la zona comprimida debido a la flexión compuesta, si la capacidad mecánica
de las armaduras de torsión a disponer es inferior al esfuerzo de compresión del
hormigón debido a la flexión compuesta, no será necesario añadir armadura por
torsión. En caso contrario se añadirá la diferencia entre ambos valores.
Por lo que respecta a las compresiones en el hormigón, deberá comprobarse que la
tensión principal de compresión scd en el punto crítico de la sección cumple:
f cd 1cd ? ? ?
donde a y f1cd son los definidos en 45.2.2.1.
Para la determinación de scd se empleará la tensión de compresión smd debida a la
flexión compuesta en el punto considerado y la tensión tangencial de torsión en dicho punto
X-22
calculada de acuerdo con:
2 A h
= T
e e
d
? td
La tensión principal de compresión será:
? ? ? ? t d
md 2
2
md
cd +
2
+
2
= ?
?
?
?? ?
45.3.2.2 Torsión combinada con cortante
Los esfuerzos torsores y cortantes de cálculo concomitantes deberán satisfacer la
siguiente condición para asegurar que no se producen compresiones excesivas en el
hormigón:
1
V
+ V
T
T
u1
rd
u1
d ? ?
?
? ?
?
? ?
?
? ?
?
? ? ?
donde:
?? ?
?? ?
b
? = 2 1 - he
b Anchura del elemento, igual a la anchura total para sección maciza y a la suma de las
anchuras de las almas para sección cajón.
Los cálculos para el dimensionamiento de los estribos se realizarán de forma independiente,
para la torsión de acuerdo con 45.2.2.2 y para el cortante con 44.2.3.2.2. En ambos
cálculos se utilizará el mismo ángulo ? para las bielas de compresión. Las armaduras así
calculadas se sumarán teniendo en cuenta que las de torsión deben disponerse en el perímetro
exterior de la sección, lo cual no es preceptivo con las de cortante.
Artículo 46º Estado Límite de Punzonamiento
46.1 Consideraciones generales
La resistencia frente a los efectos transversales producidos por cargas concentradas
(cargas o reacciones) actuando en losas sin armadura transversal se comprueba utilizando una
tensión tangencial nominal en una superficie crítica concéntrica a la zona cargada.
El área crítica se define a una distancia igual a 2d desde el perímetro del área cargada
o del soporte, siendo d el canto útil de la losa.
Figura 46.1.a
X-23
Figura 46.1..b
46.2 Losas sin armadura de punzonamiento
No será necesaria armadura de punzonamiento si se verifica la siguiente condición:
? sd ? ? rd
donde:
tsd Tensión tangencial nominal de cálculo en el perímetro crítico.
u d
= F
1
sd,ef
? sd
Fsd,ef Esfuerzo efectivo de punzonamiento de cálculo, teniendo en cuenta el efecto del
momento transferido entre losa y soporte.
Fsd,ef = Fsd ?
ß Coeficiente que tiene en cuenta los efectos de excentricidad de la carga. Cuando no
existen momentos transferidos entre losa y soporte toma el valor 1,00.
Simplificadamente, cuando existen momentos transferidos entre losa y soporte, ß
puede tomarse igual a 1,15 en soportes interiores, 1,40 en soportes de borde y 1,50 en
soportes de esquina.
Fsd Esfuerzo de punzonamiento de cálculo. Se obtendrá como la reacción del soporte. En
el caso de losas pretensadas debe incluir la componente vertical del pretensado.
u1 Perímetro crítico definido en las figuras 46.1.a y 46.1.b.
d Canto útil de la losa.
trd Tensión máxima resistente en el perímetro crítico, con fck en N/mm2.
= 0,12 ?100 f ? l ck
1/3
rd ? ? ?
?l Cuantía geométrica de armadura longitudinal de la losa, calculada mediante:
? ? x y
siendo ?x y ?y las cuantías en dos direcciones perpendiculares. En cada dirección la
cuantía a considerar es la existente en un ancho igual a la dimensión del soporte más
3d a cada lado del soporte o hasta el borde de la losa, si se trata de un soporte de
borde o esquina.
? 1 + 200 / d con d en mm.
46.3 Losas con armadura de punzonamiento
Cuando resulta necesaria armadura de punzonamiento deben realizarse dos
comprobaciones: en la zona con armadura transversal, según 46.3.1, y en la zona adyacente
siguiente sin armadura transversal, según 46.3.2.
46.3.1 Zona con armadura de punzonamiento
X-24
En la zona con armadura de punzonamiento se dimensionará la armadura teniendo en
cuenta lo indicado en 44.3.2.2, considerando como valor de Aa y b0 los valores siguientes:
b0 = u1
s
A = Asw
?
donde:
Asw Área total de armadura de punzonamiento en un perímetro concéntrico al soporte o
área cargada.
s Distancia en dirección radial entre dos perímetros concéntricos de armadura. (figura
46.3.2).
46.3.2 Zona exterior a la armadura de punzonamiento
En la zona exterior a la armadura de punzonamiento es necesario comprobar que no se
requiere dicha armadura.
F 0,12 (100 f ) un,ef d
1/3
sd,ef l ck ? ? ?
donde:
un,ef Perímetro definido en la figura 46.3.2
Figura 46.3.2. Disposición en planta de la armadura de punzonamiento
X-25
?l Cuantía geométrica de armadura longitudinal que atraviesa el perímetro un,ef.
A la distancia en la que se comprueba esta condición se supone que el efecto del
momento transferido entre soporte y losa por tensiones tangenciales ha desaparecido, por
tanto, Fsd,ef sólo tendrá en cuenta el efecto debido a la carga vertical Fsd.
46.4 Resistencia máxima
n cualquier caso debe comprobarse que el esfuerzo máximo de punzonamiento cumple
la limitación:
f
u d
F
1cd
0
sd,ef ?
donde:
f1cd Resistencia a compresión del hormigón
f = 0,30 f 1cd cd
u0 Perímetro de comprobación (figura 46.4). En soportes interiores, u0 es el perímetro de la
sección transversal del soporte. Para soportes de borde:
u0 = c1 + 3d c1 + 2c2 ?
donde c1 y c2 son las dimensiones del soporte. Para soportes de esquina:
u0 = 3d c1 + c2 ?
Figura 46.4. Parámetro crítico u0
46.5 Disposiciones relativas a las armaduras
La armadura de punzonamiento debe definirse de acuerdo con los siguientes criterios:
- La armadura de punzonamiento estará constituida por cercos, horquillas
verticales o barras dobladas.
- Las disposiciones constructivas deberán cumplir las especificaciones de la
figura 46.5.
- La armadura de punzonamiento debe anclarse a partir del centro de gravedad
del bloque comprimido y por debajo de la armadura longitudinal de tracción. El
anclaje de la armadura de punzonamiento debe estudiarse cuidadosamente,
sobre todo en losas de poco espesor.
X-26
Figura 46.5. Tipología de armado de punzonamiento
Artículo 47º Estado Límite de Agotamiento por esfuerzo rasante en juntas entre
hormigones
47.1 Generalidades
El Estado Límite que se trata en este Artículo es el debido al esfuerzo rasante
producido por la solicitación tangencial a la que se ve sometida una junta entre hormigones.
47.2 Resistencia a esfuerzo rasante en juntas entre hormigones
La tensión rasante que solicita la junta en la sección debe cumplir:
f ( sen + cos ) + 0,25 f
sp
f + A y ,d cd cd
st
? md ? ? ct,d ? ? ? ? ? ? ?
donde:
tmd Valor medio de la tensión rasante de cálculo de la junta en la sección considerada.
fcd Resistencia de cálculo a compresión del hormigón más débil de la junta.
Ast Sección de las barras de acero, eficazmente ancladas, que cosen la junta.
s Separación de las barras de cosido según el plano de la junta.
p Superficie de contacto por unidad de longitud. No se extenderá a zonas donde el ancho
de paso sea inferior a 20 mm o al diámetro máximo del árido, o con un recubrimiento
inferior a 30 mm.
fya,d Resistencia de cálculo de las armaduras transversales en N/mm2 ( ? 400N/mm2).
a Ángulo formado por las barras de cosido con el plano de la junta. No se dispondrán
armaduras con a > 135o ó a <> 0 para tensiones de compresión. (Si scd <0, ßfct,d = 0)
fct,d Resistencia de cálculo a tracción del hormigón más débil de la junta.
Los valores de ß y μ se definen en la tabla 47.2.
X-27
Tabla 47.2
Valores de los coeficientes ß y μ en función del tipo de superficie
Tipo de superficie
Rugosidad baja Rugosidad alta
ß 0,2 0,4
μ 0,6 0,9
Para superficies rugosas, eficazmente engarzadas en cola de milano, se admite
ß= 0,5.
La contribución de la armadura de cosido a la resistencia a rasante de la junta, en la
sección de estudio, sólo será contabilizada si la cuantía geométrica de armadura transversal
cumple:
( f en N/ mm )
f
0,38
sp
A 2
y ,d
y ,d
st
?
?
?
Bajo solicitaciones de fatiga o de tipo dinámico los valores correspondientes a la
contribución por cohesión entre hormigones (ßfct,d) se reducirán en un 50%.
Cuando existan tracciones normales a la superficie de contacto (por ejemplo, cargas
colgadas en la cara inferior de una viga compuesta) la contribución por cohesión entre
hormigones se considerará nula (ßfct,d=0).
La capacidad resistente a esfuerzo rasante está obtenida bajo la hipótesis de un
espesor medio mínimo del hormigón a cada lado de la junta de 50 mm, medido normalmente al
plano de la junta, pudiéndose llegar localmente a un espesor mínimo de 30 mm.
47.3 Disposiciones relativas a las armaduras
Se define junta frágil como aquella cuya cuantía geométrica de armadura de cosido es
inferior al valor dado en Artículo 47.2 para poder contabilizar la contribución de la armadura de
cosido, y junta dúctil como aquella en la que la cuantía de armadura de cosido es superior a
este valor.
En las juntas frágiles la distribución de la armadura de cosido debe hacerse
proporcional a la ley de esfuerzos cortantes. En las juntas dúctiles se puede asumir la hipótesis
de redistribución de tensiones a lo largo de la junta, aunque se aconseja también distribuir la
armadura de cosido proporcionalmente a la ley de esfuerzos cortantes.
En el caso de piezas solicitadas a cargas dinámicas significativas, se dispondrá siempre
armadura transversal de cosido en los voladizos y en los cuartos extremos de la luz.
Artículo 48º Estado Límite de Fatiga
48.1 Principios
En los elementos estructurales sometidos a acciones variables repetidas significativas
puede ser necesario comprobar que el efecto de dichas acciones no compromete su seguridad
durante el período de servicio previsto.
La seguridad de un elemento o detalle estructural frente a la fatiga queda asegurada si
se cumple la condición general establecida en 8.1.2. La comprobación debe ser efectuada por
separado para el hormigón y el acero.
En estructuras normales generalmente no suele ser necesaria la comprobación de este
X-28
Estado Límite.
48.2 Comprobaciones a realizar
48.2.1 Hormigón
A los efectos de fatiga se limitarán los valores máximos de tensión de compresión,
producidos, tanto por tensiones normales como por tensiones tangenciales (bielas
comprimidas), debidas a las cargas permanentes y sobrecargas que producen fatiga.
Para elementos sometidos a cortante sin armadura transversal, se limitará asimismo la
capacidad resistente debida al efecto de la fatiga.
Los valores máximos de tensiones de compresión y de capacidad resistente a cortante
se definirán de acuerdo con la experimentación existente o, en su caso, con los criterios
contrastados planteados en la bibliografía técnica.
48.2.2 Armaduras activas y pasivas
En ausencia de criterios más rigurosos, basados, por ejemplo, en la teoría de mecánica
de fractura, la máxima variación de tensión, ?ssf, debida a las sobrecargas que producen fatiga
(13.2), deberá ser inferior que el límite de fatiga, ?sd, definido en 38.10.
? ? sf ? ? ? d

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